Algebra Beispiele

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{16 - x^{2}}{9 x}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{4^{2} - x^{2}}{9 x}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{- 6}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{- 6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- 6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 5

Multipliziere $- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x - 4}$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 4}$ mit $\frac{6}{(x + 4) (x - 4)}$ .

$- \frac{6}{(x - 4) ((x + 4) (x - 4))} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 5.2

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1} (x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 5.3

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1 + 1} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)}$ in den Zähler.

$\frac{- 6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 (- 2)}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{3 (- 2)}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 (3 x)}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 (3 x)}$

Schritt 6.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 x}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{- 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)}$ mit $\frac{(4 + x) (4 - x)}{3 x}$ .

$\frac{- 2 ((4 + x) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + x$ und $x + 4$ .

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Schritt 6.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 ((x + 4) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 ((x + 4) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 (4 - x)}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - x$ und ${(x - 4)}^{2}$ .

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Schritt 6.4.1

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- 2 (- 1 (- 4) - x)}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- 2 (- 1 (- 4) - (x))}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 4) - (x)$ heraus.

$\frac{- 2 (- 1 (- 4 + x))}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Schritt 6.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 4))}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 x}$

Schritt 6.4.5

Faktorisiere $x - 4$ aus $- 2 (- 1 (x - 4))$ heraus.

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 x}$

Schritt 6.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.6.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x - 4)}^{2} \cdot 3 x$ heraus.

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{(x - 4) ((x - 4) \cdot 3 x)}$

Schritt 6.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{(x - 4) ((x - 4) \cdot 3 x)}$

Schritt 6.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{(x - 4) \cdot 3 x}$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{(x - 4) \cdot 3 x}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 4$ .

$\frac{2}{3 \cdot (x - 4) x}$

Schritt 8.2

Stelle die Faktoren in $\frac{2}{3 (x - 4) x}$ um.

$\frac{2}{3 x (x - 4)}$