Algebra Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot \log_{3} (9 x) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \log_{3} (9 x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $9 x$ an.

$\log_{3} (9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Schritt 1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\log_{3} ({(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Schritt 1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (3^{1} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Schritt 1.6

Berechne den Exponenten.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Schritt 1.7

Vereinfache $\frac{3}{2} \log_{3} (4 x^{3})$ , indem du $\frac{3}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} ({(4 x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.8

Wende die Produktregel auf $4 x^{3}$ an.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (4^{\frac{3}{2}} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.10

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{3} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.12

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.13

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.13.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{3 (\frac{3}{2})})$

Schritt 1.13.2

Multipliziere $3 (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 1.13.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{\frac{3 \cdot 3}{2}})$

Schritt 1.13.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{\frac{9}{2}})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}} (8 x^{\frac{9}{2}}))$

Schritt 3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{9}{2}})$

Schritt 4

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{9}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 (x^{\frac{9}{2}} x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{9}{2} + \frac{1}{2}})$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{9 + 1}{2}})$

Schritt 4.4

Addiere $9$ und $1$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{10}{2}})$

Schritt 4.5

Dividiere $10$ durch $2$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{5})$

Schritt 5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\log_{3} (24 x^{5})$