Algebra Beispiele

$f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ als Gleichung.

$y = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 y^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ um.

$2 y^{- \frac{2}{3}} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{- \frac{2}{3}}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Bringe $y^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{\frac{2}{3}}, 2$

Schritt 3.3.2

Da $y^{\frac{2}{3}}, 2$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 2$ und anschließend für den variablen Teil $y^{\frac{2}{3}}$ .

Schritt 3.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.3.5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 3.3.6

Das kgV von $1, 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 3.3.7

Das kgV von $y^{\frac{2}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.3.8

Das kgV von $y^{\frac{2}{3}}, 2$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ mit $2 y^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ mit $2 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (2 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = x y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ um.

$x y^{\frac{2}{3}} = 2$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ durch $x$ .

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $y^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{x}$

Schritt 3.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{x}$ an.

$y = \pm \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 5.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$

Schritt 5.3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} \geq 0$

Schritt 5.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.4

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Schritt 5.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = 0^{2}$

Schritt 5.3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 5.3.5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.5.3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.3.5.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.3.5.3.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5.3.6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$2 \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 5.4.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 5.4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 0^{3}$

Schritt 5.4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.4.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.4.3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.4.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.4.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.4.3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.4.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ der Wertebereich von $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ der Definitionsbereich von $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ die inverse Funktion von $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6