Algebra Beispiele

$2 \log (2) - \log (x) = \log (x + 3) - \log (7)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (2) - \log (x) = \log (\frac{x + 3}{7})$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log (2) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 \log (2) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7})$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache $2 \log (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (2^{2}) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\log (4) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{4}{x}) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Schritt 3.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{4}{x}}{\frac{x + 3}{7}}) = 0$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (\frac{4}{x} \cdot \frac{7}{x + 3}) = 0$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $\frac{4}{x} \cdot \frac{7}{x + 3}$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{7}{x + 3}$ .

$\log (\frac{4 \cdot 7}{x (x + 3)}) = 0$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\log (\frac{28}{x (x + 3)}) = 0$

Schritt 4

Schreibe $\log (\frac{28}{x (x + 3)}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{28}{x (x + 3)}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{28}{x (x + 3)} = 10^{0}$ um.

$\frac{28}{x (x + 3)} = 10^{0}$

Schritt 5.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} = 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x (x + 3), 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x (x + 3)$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{28}{x (x + 3)} = 1$ mit $x (x + 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{28}{x (x + 3)} = 1$ mit $x (x + 3)$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} (x (x + 3)) = 1 (x (x + 3))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x (x + 3)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{28}{x (x + 3)} (x (x + 3)) = 1 (x (x + 3))$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$28 = 1 (x (x + 3))$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $x (x + 3)$ mit $1$ .

$28 = x (x + 3)$

Schritt 5.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$28 = x \cdot x + x \cdot 3$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$28 = x^{2} + x \cdot 3$

Schritt 5.4.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$28 = x^{2} + 3 x$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 3 x = 28$ um.

$x^{2} + 3 x = 28$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $28$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x - 28 = 0$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.5.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 28$ und deren Summe $3$ ist.

$- 4, 7$

Schritt 5.5.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 7) = 0$

Schritt 5.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 5.5.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.5.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5.5.6

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.6.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 5.5.6.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 5.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 7$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log (2) - \log (x) = \log (x + 3) - \log (7)$ nicht erfüllen.

$x = 4$