Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} \div \frac{x + \frac{1}{1 + x}}{x + \frac{x}{1 + x}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + 1$ und $b = x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1 + x) (x + 1 - x)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) (x + 1 - x)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) (0 + 1)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 2.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $2 x + 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $1 + x$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$ mit $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}})$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) (x + \frac{x}{1 + x})}{(1 + x) (x + \frac{1}{1 + x})}$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + (1 + x) \frac{x}{1 + x}}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + (1 + x) \frac{x}{1 + x}}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + 1}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $(1 + x) x + x$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x$ aus $(1 + x) x$ heraus.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x}{(1 + x) x + 1}$

Schritt 7.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x^{1}}{(1 + x) x + 1}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x \cdot 1}{(1 + x) x + 1}$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (1 + x) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x + 1)}{(1 + x) x + 1}$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{(1 + x) x + 1}$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{1 x + x \cdot x + 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + x \cdot x + 1}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + x^{2} + 1}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 x + 1} (x (x + 2))$

Schritt 9.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (x + 2)$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2 x + 1}$ mit $x + 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{2 x + 1}$