Algebra Beispiele

$\frac{1}{8} x^{3} + 1 \frac{1}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{8} x^{3} + 1 \frac{1}{2} x$ .

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Schritt 1.1.1

Wandle $1 \frac{1}{2}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 1.1.1.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$\frac{1}{8} x^{3} + (1 + \frac{1}{2}) x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $1$ und $\frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{8} x^{3} + (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Schritt 1.1.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{2 + 1}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Schritt 1.1.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} = \frac{3 x^{2}}{4} + 1$

Schritt 3

Subtrahiere $\frac{3 x^{2}}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$ mit $8$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$ mit $8$ .

$\frac{x^{3}}{8} \cdot 8 + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3}}{8} \cdot 8 + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot (2 (4)) - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + 3 x \cdot 4 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{3} + 12 x - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x^{2}}{4}$ in den Zähler.

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot (4 (2)) = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot (4 \cdot 2) = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + 12 x - 3 x^{2} \cdot 2 = 1 \cdot 8$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} = 1 \cdot 8$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} = 8$

Schritt 5

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 6.2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 6.2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 6.2.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 6.2.3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 6.2.3.5

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 6.2.3.6

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Schritt 6.2.3.7

Addiere $- 16$ und $24$ .

$8 - 8$

Schritt 6.2.3.8

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 6.2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Schritt 6.2.5

Dividiere $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ durch $x - 2$ .

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Schritt 6.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Schritt 6.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Schritt 6.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 6.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 6.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 6.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 6.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 6.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 6.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 6.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Schritt 6.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 6.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 6.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 6.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Schritt 6.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Schritt 6.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 6.2.6

Schreibe $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 6.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 8

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 2$