Algebra Beispiele

$2 x^{2} - 18$ und $5 x^{3} + 30 x^{2} + 45 x$

Schritt 1

Faktorisiere $2 x^{2} - 18$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 18$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 18$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 9$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 9$ heraus.

$2 (x^{2} - 9)$

Schritt 1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$2 (x^{2} - 3^{2})$

Schritt 1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$2 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 3) (x - 3)$

Schritt 2

Faktorisiere $5 x^{3} + 30 x^{2} + 45 x$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{3} + 30 x^{2} + 45 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$5 x (x^{2}) + 30 x^{2} + 45 x$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $5 x$ aus $30 x^{2}$ heraus.

$5 x (x^{2}) + 5 x (6 x) + 45 x$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $5 x$ aus $45 x$ heraus.

$5 x (x^{2}) + 5 x (6 x) + 5 x (9)$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{2}) + 5 x (6 x)$ heraus.

$5 x (x^{2} + 6 x) + 5 x (9)$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{2} + 6 x) + 5 x (9)$ heraus.

$5 x (x^{2} + 6 x + 9)$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$5 x (x^{2} + 6 x + 3^{2})$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$5 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$5 x {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3

Da $2 (x + 3) (x - 3), 5 x {(x + 3)}^{2}$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, gibt es vier Schritte, um das kgV zu ermitteln. Bestimme das kgV für den numerischen, variablen und zusammengesetzten Teil. Multipliziere sie dann miteinander.

Schritte, um das kgV für $2 (x + 3) (x - 3), 5 x {(x + 3)}^{2}$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 5$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $x^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $x + 3, x - 3, {(x + 3)}^{2}$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 4

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 6

Da $5$ keine Teiler außer $1$ und $5$ hat.

$5$ ist eine Primzahl

Schritt 7

Das kgV von $2, 5$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 5$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10$

Schritt 9

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 10

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 11

Der Teiler von $x + 3$ ist $x + 3$ selbst.

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ occurs $1$ time.

Schritt 12

Der Teiler von $x - 3$ ist $x - 3$ selbst.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ occurs $1$ time.

Schritt 13

Die Teiler von $x + 3$ sind $(x + 3) \cdot (x + 3)$ , was $x + 3$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$(x + 3) = (x + 3) \cdot (x + 3)$

$(x + 3)$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 14

Das kgV von $x + 3, x - 3, {(x + 3)}^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

${(x + 3)}^{2} (x - 3)$

Schritt 15

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$10 x {(x + 3)}^{2} (x - 3)$