Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{x + 5} = x - 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 5)}^{1} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 5 = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{3}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x + 5 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x + 5$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = 5$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = 5$

Schritt 3.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 - 5 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.5.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 3 x^{2}) + 2 x - 6 = 0$

Schritt 3.5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 3) + 2 (x - 3) = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.8

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 3.8.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 3.8.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 3.8.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 3.8.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 3.8.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 3.8.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 3.8.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.8.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 3.8.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 3.8.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$