Algebra Beispiele

$x^{2} + 11 x + \frac{121}{4} = {(x + n)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(x + n)}^{2} = x^{2} + 11 x + \frac{121}{4}$ um.

${(x + n)}^{2} = x^{2} + 11 x + \frac{121}{4}$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 11 x + \frac{121}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{x^{2} + 11 x + \frac{121}{4}}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 11 x + \frac{11^{2}}{4}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 11 x + \frac{11^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.1.3

Schreibe $\frac{11^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{11}{2})}^{2}$ um.

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 11 x + {(\frac{11}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$11 x = 2 \cdot x \cdot \frac{11}{2}$

Schritt 3.1.5

Schreibe das Polynom neu.

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{11}{2} + {(\frac{11}{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = \frac{11}{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(x + \frac{11}{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{11}{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + n = \pm \sqrt{{(\frac{x \cdot 2 + 11}{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(\frac{2 x + 11}{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 x + 11}{2}$ an.

$x + n = \pm \sqrt{\frac{{(2 x + 11)}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x + n = \pm \sqrt{\frac{{(2 x + 11)}^{2}}{4}}$

Schritt 3.5.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + n = \pm \sqrt{\frac{{(2 x + 11)}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{{(2 x + 11)}^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{2 x + 11}{2})}^{2}$ um.

$x + n = \pm \sqrt{{(\frac{2 x + 11}{2})}^{2}}$

Schritt 3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + n = \pm \frac{2 x + 11}{2}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + n = \frac{2 x + 11}{2}$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n = \frac{2 x + 11}{2} - x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x + 11}{2}$ in zwei Brüche.

$n = \frac{2 x}{2} + \frac{11}{2} - x$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n = \frac{2 x}{2} + \frac{11}{2} - x$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$n = x + \frac{11}{2} - x$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{11}{2} - x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$n = 0 + \frac{11}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $\frac{11}{2}$ .

$n = \frac{11}{2}$

Schritt 4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + n = - \frac{2 x + 11}{2}$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n = - \frac{2 x + 11}{2} - x$

Schritt 4.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x + 11}{2}$ in zwei Brüche.

$n = - (\frac{2 x}{2} + \frac{11}{2}) - x$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n = - (\frac{2 x}{2} + \frac{11}{2}) - x$

Schritt 4.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$n = - (x + \frac{11}{2}) - x$

Schritt 4.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$n = - x - \frac{11}{2} - x$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$n = - 2 x - \frac{11}{2}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$n = \frac{11}{2}$

$n = - 2 x - \frac{11}{2}$

$n = \frac{11}{2}$

$n = - 2 x - \frac{11}{2}$