Algebra Beispiele

$8 x + y^{2} - 2 y = 64 - y^{2}$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x + y^{2} - 2 y + y^{2} = 64$

Schritt 1.1.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$8 x + 2 y^{2} - 2 y = 64$

Schritt 1.2

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x + 2 y^{2} - 2 y - 64 = 0$

Schritt 1.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2$ und $c = 8 x - 64$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (8 x - 64))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 (8 x) - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x + 512}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.6

Addiere $4$ und $512$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 64 x + 516}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x + 516$ heraus.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 516}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $516$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 4 (129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 16 x) + 4 (129)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 (8 x) - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x + 512}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.6

Addiere $4$ und $512$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 64 x + 516}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x + 516$ heraus.

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Schritt 1.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 516}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $516$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 4 (129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 16 x) + 4 (129)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 1.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 (8 x) - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x + 512}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.6

Addiere $4$ und $512$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 64 x + 516}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.7

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x + 516$ heraus.

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Schritt 1.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 516}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $516$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 4 (129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 16 x) + 4 (129)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 1.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 1.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{1 + \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 4

Zerlege den Bruch $\frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 16 x + 129}$

$y = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 16 x + 129})$

Schritt 7

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 16 x + 129}$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 16 x + 129}$

Schritt 8