Algebra Beispiele

$\frac{5 x + 7}{x - 2} - \frac{2 x + 21}{x + 2} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{5 x + 7}{x - 2} - \frac{2 x + 21}{x + 2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{5 x + 7}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2 x + 21}{x + 2} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.2

Um $- \frac{2 x + 21}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2 x + 21}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 2) (x + 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 x + 7}{x - 2}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(5 x + 7) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{2 x + 21}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2 x + 21}{x + 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(5 x + 7) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{(2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 2)$ um.

$\frac{(5 x + 7) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(5 x + 7) (x + 2) - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Multipliziere $(5 x + 7) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (x + 2) + 7 (x + 2) - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 7 (x + 2) - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 7 x + 7 \cdot 2 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 2 + 7 x + 7 \cdot 2 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 7 x + 7 \cdot 2 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 7 x + 7 \cdot 2 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 7 x + 14 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.2.2

Addiere $10 x$ und $7 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 + (- (2 x) - 1 \cdot 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 + (- 2 x - 1 \cdot 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $21$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 + (- 2 x - 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.6

Multipliziere $(- 2 x - 21) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x (x - 2) - 21 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 21 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 21 x - 21 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 21 x - 21 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 21 x - 21 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x^{2} + 4 x - 21 x - 21 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.7.1.3

Mutltipliziere $- 21$ mit $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x^{2} + 4 x - 21 x + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.7.2

Subtrahiere $21 x$ von $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x^{2} - 17 x + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 17 x + 14 - 17 x + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.9

Subtrahiere $17 x$ von $17 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 0 + 14 + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.10

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 14 + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.5.11

Addiere $14$ und $42$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Wandle $8 \frac{2}{3}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 2.1.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = 8 + \frac{2}{3}$

Schritt 2.1.2

Addiere $8$ und $\frac{2}{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.1.2.2

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{24 + 2}{3}$

Schritt 2.1.2.4.2

Addiere $24$ und $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{26}{3}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(3 x^{2} + 56) \cdot 3 = (x + 2) (x - 2) \cdot 26$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$(x + 2) (x - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2

Vereinfache $(x + 2) (x - 2) \cdot 26$ .

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Schritt 4.2.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 2) (x - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x + 2) (x - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x - 2) + 2 (x - 2)) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.4.1.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.4.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$(x \cdot x + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(x^{2} - 4) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 26 - 4 \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.3.2.1

Bringe $26$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$26 \cdot x^{2} - 4 \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.2.4.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $26$ .

$26 x^{2} - 104 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Schritt 4.3

Vereinfache $(3 x^{2} + 56) \cdot 3$ .

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$26 x^{2} - 104 = 3 x^{2} \cdot 3 + 56 \cdot 3$

Schritt 4.3.2

Multipliziere.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$26 x^{2} - 104 = 9 x^{2} + 56 \cdot 3$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $56$ mit $3$ .

$26 x^{2} - 104 = 9 x^{2} + 168$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$26 x^{2} - 104 - 9 x^{2} = 168$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $26 x^{2}$ .

$17 x^{2} - 104 = 168$

Schritt 4.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1

Addiere $104$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$17 x^{2} = 168 + 104$

Schritt 4.5.2

Addiere $168$ und $104$ .

$17 x^{2} = 272$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $17 x^{2} = 272$ durch $17$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $17 x^{2} = 272$ durch $17$ .

$\frac{17 x^{2}}{17} = \frac{272}{17}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{17 x^{2}}{17} = \frac{272}{17}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{272}{17}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Dividiere $272$ durch $17$ .

$x^{2} = 16$

Schritt 4.7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 4.8

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 4.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 4.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 4.9.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 4.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$