Algebra Beispiele

$f (x) < - \sqrt{x + 2} - 4$

Schritt 1

Subtrahiere $f (x)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Schritt 2

Ermittle Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse für die Grenzlinie.

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Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x) > 0$

Schritt 2.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $- \sqrt{x + 2}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.3.1

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{x + 2} - f (x) > 4$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $f (x)$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{x + 2} > 4 + f (x)$

Schritt 2.1.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.5.2.1

Vereinfache ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5.2.1.3

Mutltipliziere ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.5.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5.2.1.5

Vereinfache.

$x + 2 > {(4 + f (x))}^{2}$

Schritt 2.1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.3.1

Vereinfache ${(4 + f (x))}^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.3.1.1

Schreibe ${(4 + f (x))}^{2}$ als $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ um.

$x + 2 > (4 + f (x)) (4 + f (x))$

Schritt 2.1.5.3.1.2

Multipliziere $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 > 4 (4 + f (x)) + f (x) (4 + f (x))$

Schritt 2.1.5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) (4 + f (x))$

Schritt 2.1.5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Schritt 2.1.5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Schritt 2.1.5.3.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 \cdot f (x) + f (x) f (x)$

Schritt 2.1.5.3.1.3.1.3

Multipliziere $f (x) f (x)$ .

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Schritt 2.1.5.3.1.3.1.3.1

Potenziere $f (x)$ mit $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} f (x)$

Schritt 2.1.5.3.1.3.1.3.2

Potenziere $f (x)$ mit $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} {f (x)}^{1}$

Schritt 2.1.5.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.5.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{2}$

Schritt 2.1.5.3.1.3.2

Addiere $4 f (x)$ und $4 f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 8 f (x) + {f (x)}^{2}$

Schritt 2.1.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.6.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$16 + 8 f x + f x^{2} < x + 2$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x < 2$

Schritt 2.1.6.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1.6.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x - 2 < 0$

Schritt 2.1.6.3.2

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$8 f x + f x^{2} - x + 14 < 0$

Schritt 2.1.6.4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$8 f x + f x^{2} - x + 14 = 0$

Schritt 2.1.6.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.1.6.6

Setze die Werte $a = f$ , $b = 8 f - 1$ und $c = 14$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (8 f - 1) \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot (f \cdot 14)}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.4

Schreibe ${(8 f - 1)}^{2}$ als $(8 f - 1) (8 f - 1)$ um.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.5

Multipliziere $(8 f - 1) (8 f - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.6.7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.6.7.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.7.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.6.1.2

Multipliziere $f$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.7.6.1.2.1

Bewege $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.6.1.2.2

Mutltipliziere $f$ mit $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.6.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.6.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.6.2

Subtrahiere $8 f$ von $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.7

Mutltipliziere $14$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7.8

Subtrahiere $56 f$ von $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.1.6.8.1

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 f$ heraus.

$x = \frac{- (8 f) + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 f) - 1 (- 1)$ heraus.

$x = \frac{- (8 f - 1) + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ heraus.

$x = \frac{- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ heraus.

$x = \frac{- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.7

Schreibe $- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ als $- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ um.

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.1.6.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.4

Schreibe ${(8 f - 1)}^{2}$ als $(8 f - 1) (8 f - 1)$ um.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.5

Multipliziere $(8 f - 1) (8 f - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.6.9.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.9.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.9.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.6.1.2

Multipliziere $f$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.9.1.6.1.2.1

Bewege $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $f$ mit $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.6.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.6.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.6.2

Subtrahiere $8 f$ von $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.7

Mutltipliziere $14$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.1.8

Subtrahiere $56 f$ von $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 f$ heraus.

$x = \frac{- (8 f) + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 f) - 1 (- 1)$ heraus.

$x = \frac{- (8 f - 1) - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ heraus.

$x = \frac{- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ heraus.

$x = \frac{- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.8

Schreibe $- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ als $- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ um.

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.1.7

Forme zur Normalform um.

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Schritt 2.2

Die Gleichung ist nicht linear, und folglich existiert keine konstante Steigung.

Nicht linear

Schritt 3

Zeichne eine gestrichelte Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$ ist.

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Schritt 4