Algebra Beispiele

$h (x) = - \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x + 6$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $- \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x + 6$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 0$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

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Schritt 6.1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{v^{2}}{v^{2}}$ .

$- \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + \frac{x v^{2}}{v^{2}} + 6$

Schritt 6.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2}}{v^{2}} + 6$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 44 x^{2} + x v^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 44 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 44 x) + x v^{2}}{v^{2}} + 6$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x v^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 44 x) + x (v^{2})}{v^{2}} + 6$

Schritt 6.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 44 x) + x (v^{2})$ heraus.

$\frac{x (- 44 x + v^{2})}{v^{2}} + 6$

Schritt 6.1.4

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{v^{2}}{v^{2}}$ .

$\frac{x (- 44 x + v^{2})}{v^{2}} + \frac{6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (- 44 x + v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 44 x) + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 44 x \cdot x + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.6.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 44 (x \cdot x) + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 44 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2}) + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x v^{2}$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2}) - (- x v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (44 x^{2}) - (- x v^{2})$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $6 v^{2}$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.1.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.1.7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.7.6.1

Schreibe $- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ als $- 1 (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ um.

$\frac{- 1 (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.1.7.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.1.8

Vereinfache.

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 44 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2}) + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x v^{2}$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2}) - (- x v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (44 x^{2}) - (- x v^{2})$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $6 v^{2}$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})$ heraus.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.6.1

Schreibe $- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ als $- 1 (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ um.

$\frac{- 1 (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere $- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ aus.

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Schritt 6.3.1

Kehre das Vorzeichen von $44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2}$ um.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (44 x^{2}) - (- x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.3.4

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (44 x^{2}) - (- x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.3.5

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (44 x^{2}) + x v^{2} - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.3.6

Versetze die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (44 x^{2}) + 1 x v^{2} - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Schritt 6.3.7

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (44 x^{2}) + 1 x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $44$ .

$\frac{- 44 x^{2} + 1 x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 44 x^{2} + 1 x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.3.10

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.3.12

Bewege $x v^{2}$ .

$\frac{- 44 x^{2} + 6 v^{2} + x v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.3.13

Stelle $- 44 x^{2}$ und $6 v^{2}$ um.

$\frac{6 v^{2} - 44 x^{2} + x v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$v^{2}$

$44 x^{2}$

$v^{2} x$

$6 v^{2}$

Schritt 6.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 44 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $v^{2}$ .

		-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
	$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$

Schritt 6.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	-	$44 x^{2}$

Schritt 6.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 44 x^{2}$

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$

Schritt 6.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$

Schritt 6.9

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$

Schritt 6.10

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $v^{2} x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $v^{2}$ .

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$
			+	$x v^{2}$

Schritt 6.12

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x v^{2}$

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$
			-	$x v^{2}$

Schritt 6.13

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$
			-	$x v^{2}$
				$0$

Schritt 6.14

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$
			-	$x v^{2}$
				$0$	+	$6 v^{2}$

Schritt 6.15

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x + \frac{6 v^{2}}{v^{2}}$

Schritt 6.16

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x$

Schritt 8