Algebra Beispiele

$\frac{3}{2 x} + \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{3}{2 x} + \frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{2} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x} + \frac{2}{x \cdot 2} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2

Stelle die Faktoren von $x \cdot 2$ um.

$\frac{3}{2 x} + \frac{2}{2 x} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 + 2}{2 x} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 1.4

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{5}{2 x} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $2 x$ .

$\frac{5}{2 x} (2 x) = \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{5}{2 x} (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{5}{2 x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{5}{2 (x)} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{5}{2 x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$5 = \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$5 = \frac{1}{2} (2 (x))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 = \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 = x$

Schritt 4

Schreibe die Gleichung als $x = 5$ um.

$x = 5$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{5}{2 x} - \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{2 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{2 (- 2)} + \frac{1}{- 2} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 1.25$ ist kleiner als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{2 (2)} + \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $1.25$ ist größer als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{2 (8)} + \frac{1}{8} \leq \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $0.3125$ ist kleiner als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $x \geq 5$

Schritt 9