Algebra Beispiele

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ als Gleichung.

$y = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(3 y)}^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(3 y)}^{- \frac{5}{2}} = x$ um.

${(3 y)}^{- \frac{5}{2}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $- \frac{2}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{5}{2} (- \frac{2}{5})} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

${(3 y)}^{\frac{- 5}{2} (- \frac{2}{5})} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

${(3 y)}^{\frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

${(3 y)}^{\frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot - 2} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

${(3 y)}^{- - 1} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$3 y = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.4.3.2

Kombinieren.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{2}{5}} \cdot 3}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}} \cdot 3}$

Schritt 3.4.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{2}{5}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{- \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{- 1}}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 x})}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{3}{3 x}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3}{3 x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{3}{3 x}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = 1 x$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(3 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}))}^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(3 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}))}^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 5.3.4

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$

Schritt 5.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$