Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{8} {(4)}^{x + 3} + 6$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{8} \cdot {(4)}^{x + 3} + 6$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{8} \cdot 4^{x + 3} + 6 = 0$ um.

$- \frac{1}{8} \cdot 4^{x + 3} + 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $- \frac{1}{8} \cdot 4^{x + 3} + 6$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kombiniere $4^{x + 3}$ und $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{4^{x + 3}}{8} + 6 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{4^{x + 3}}{8} + 6 \cdot \frac{8}{8} = 0$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{4^{x + 3}}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} = 0$

Schritt 1.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4^{x + 3} + 6 \cdot 8}{8} = 0$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\frac{- 4^{x + 3} + 48}{8} = 0$

Schritt 1.2.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4^{x + 3}$ heraus.

$\frac{- (4^{x + 3}) + 48}{8} = 0$

Schritt 1.2.2.7

Schreibe $48$ als $- 1 (- 48)$ um.

$\frac{- (4^{x + 3}) - 1 (- 48)}{8} = 0$

Schritt 1.2.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4^{x + 3}) - 1 (- 48)$ heraus.

$\frac{- (4^{x + 3} - 48)}{8} = 0$

Schritt 1.2.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.9.1

Schreibe $- (4^{x + 3} - 48)$ als $- 1 (4^{x + 3} - 48)$ um.

$\frac{- 1 (4^{x + 3} - 48)}{8} = 0$

Schritt 1.2.2.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4^{x + 3} - 48}{8} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze den Zähler gleich Null.

$4^{x + 3} - 48 = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $48$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4^{x + 3} = 48$

Schritt 1.2.4.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x + 3}) = \ln (48)$

Schritt 1.2.4.3

Zerlege $\ln (4^{x + 3})$ durch Herausziehen von $x + 3$ aus dem Logarithmus.

$(x + 3) \ln (4) = \ln (48)$

Schritt 1.2.4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (4) + 3 \ln (4) = \ln (48)$

Schritt 1.2.4.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (4) + 3 \ln (4) - \ln (48) = 0$

Schritt 1.2.4.6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.6.1

Subtrahiere $3 \ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (4) - \ln (48) = - 3 \ln (4)$

Schritt 1.2.4.6.2

Addiere $\ln (48)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (4) = - 3 \ln (4) + \ln (48)$

Schritt 1.2.4.7

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = - 3 \ln (4) + \ln (48)$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = - 3 \ln (4) + \ln (48)$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 3 \ln (4)}{\ln (4)} + \frac{\ln (48)}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 1.2.4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 3 \ln (4)}{\ln (4)} + \frac{\ln (48)}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.4.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3 \ln (4)}{\ln (4)} + \frac{\ln (48)}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 1.2.4.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3 \ln (4)}{\ln (4)} + \frac{\ln (48)}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.4.7.3.1.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$x = - 3 + \frac{\ln (48)}{\ln (4)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 3 + \frac{\ln (48)}{\ln (4)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(4)}^{(0) + 3} + 6$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{8} \cdot 4^{0 + 3} + 6$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(4)}^{(0) + 3} + 6$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- \frac{1}{8} \cdot {(4)}^{(0) + 3} + 6$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Addiere $0$ und $3$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot 4^{3} + 6$

Schritt 2.2.3.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot 64 + 6$

Schritt 2.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 1}{8} \cdot 64 + 6$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{- 1}{8} \cdot (8 (8)) + 6$

Schritt 2.2.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1}{8} \cdot (8 \cdot 8) + 6$

Schritt 2.2.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 \cdot 8 + 6$

Schritt 2.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = - 8 + 6$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $- 8$ und $6$ .

$y = - 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 3 + \frac{\ln (48)}{\ln (4)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 2)$

Schritt 4