Algebra Beispiele

$\frac{\frac{a}{1 + a} + \frac{1 - a}{a}}{\frac{1 + a}{a} + \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(1 + a) a (1 - a)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{a}{1 + a} + \frac{1 - a}{a}}{\frac{1 + a}{a} + \frac{a}{1 - a}}$ mit $\frac{(1 + a) a (1 - a)}{(1 + a) a (1 - a)}$ .

$\frac{(1 + a) a (1 - a)}{(1 + a) a (1 - a)} \cdot \frac{\frac{a}{1 + a} + \frac{1 - a}{a}}{\frac{1 + a}{a} + \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(1 + a) a (1 - a) (\frac{a}{1 + a} + \frac{1 - a}{a})}{(1 + a) a (1 - a) (\frac{1 + a}{a} + \frac{a}{1 - a})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 + a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + a$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + a$ aus $(1 + a) a (1 - a)$ heraus.

$\frac{(1 + a) (a (1 - a)) \frac{a}{1 + a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + a) (a (1 - a)) \frac{a}{1 + a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a (1 - a) a + (1 + a) a (1 - a) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{1} a (1 - a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{1} a^{1} (1 - a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{1 + 1} (1 - a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $a$ aus $(1 + a) a (1 - a)$ heraus.

$\frac{a^{2} (1 - a) + a ((1 + a) (1 - a)) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} (1 - a) + a ((1 + a) (1 - a)) \frac{1 - a}{a}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) (1 - a) (1 - a)}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.7

Potenziere $1 - a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) ({(1 - a)}^{1} (1 - a))}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.8

Potenziere $1 - a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) ({(1 - a)}^{1} {(1 - a)}^{1})}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{1 + 1}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{(1 + a) a (1 - a) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.11.1

Faktorisiere $a$ aus $(1 + a) a (1 - a)$ heraus.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{a ((1 + a) (1 - a)) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{a ((1 + a) (1 - a)) \frac{1 + a}{a} + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{(1 + a) (1 - a) (1 + a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.12

Potenziere $1 + a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{1} (1 + a) (1 - a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.13

Potenziere $1 + a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{1} {(1 + a)}^{1} (1 - a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{1 + 1} (1 - a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a (1 - a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - a$ .

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Schritt 3.16.1

Faktorisiere $1 - a$ aus $(1 + a) a (1 - a)$ heraus.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 - a) ((1 + a) a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 - a) ((1 + a) a) \frac{a}{1 - a}}$

Schritt 3.16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a \cdot a}$

Schritt 3.17

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) (a^{1} a)}$

Schritt 3.18

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) (a^{1} a^{1})}$

Schritt 3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{1 + 1}}$

Schritt 3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $1 - a$ aus $a^{2} (1 - a) + (1 + a) {(1 - a)}^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $1 - a$ aus $a^{2} (1 - a)$ heraus.

$\frac{(1 - a) a^{2} + (1 + a) {(1 - a)}^{2}}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $1 - a$ aus $(1 + a) {(1 - a)}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 - a) a^{2} + (1 - a) ((1 + a) (1 - a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $1 - a$ aus $(1 - a) a^{2} + (1 - a) ((1 + a) (1 - a))$ heraus.

$\frac{(1 - a) (a^{2} + (1 + a) (1 - a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere $(1 + a) (1 - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 (1 - a) + a (1 - a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- a) + a (1 - a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- a) + a \cdot 1 + a (- a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 + 1 (- a) + a \cdot 1 + a (- a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $- a$ mit $1$ .

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 - a + a \cdot 1 + a (- a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 - a + a + a (- a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 - a + a - a \cdot a)}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.3.1.5

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.5.1

Bewege $a$ .

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 - a + a - (a \cdot a))}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.3.1.5.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 - a + a - a^{2})}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.3.2

Addiere $- a$ und $a$ .

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 + 0 - a^{2})}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(1 - a) (a^{2} + 1 - a^{2})}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{(1 - a) (0 + 1)}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{{(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $1 + a$ aus ${(1 + a)}^{2} (1 - a) + (1 + a) a^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $1 + a$ aus ${(1 + a)}^{2} (1 - a)$ heraus.

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) ((1 + a) (1 - a)) + (1 + a) a^{2}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $1 + a$ aus $(1 + a) a^{2}$ heraus.

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) ((1 + a) (1 - a)) + (1 + a) (a^{2})}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $1 + a$ aus $(1 + a) ((1 + a) (1 - a)) + (1 + a) (a^{2})$ heraus.

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) ((1 + a) (1 - a) + a^{2})}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(1 + a) (1 - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 (1 - a) + a (1 - a) + a^{2})}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 \cdot 1 + 1 (- a) + a (1 - a) + a^{2})}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 \cdot 1 + 1 (- a) + a \cdot 1 + a (- a) + a^{2})}$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 + 1 (- a) + a \cdot 1 + a (- a) + a^{2})}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $- a$ mit $1$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 - a + a \cdot 1 + a (- a) + a^{2})}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 - a + a + a (- a) + a^{2})}$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 - a + a - a \cdot a + a^{2})}$

Schritt 5.3.1.5

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.5.1

Bewege $a$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 - a + a - (a \cdot a) + a^{2})}$

Schritt 5.3.1.5.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 - a + a - a^{2} + a^{2})}$

Schritt 5.3.2

Addiere $- a$ und $a$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 + 0 - a^{2} + a^{2})}$

Schritt 5.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 - a^{2} + a^{2})}$

Schritt 5.4

Addiere $- a^{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) (1 + 0)}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(1 - a) \cdot 1}{(1 + a) \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $1 - a$ mit $1$ .

$\frac{1 - a}{(1 + a) \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $1 + a$ mit $1$ .

$\frac{1 - a}{1 + a}$