Algebra Beispiele

$2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Schritt 1

Stelle $3$ und $- x$ um.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot 8)$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 (4)))$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4))$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (4)$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache $2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2}) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3}) - \ln (4) = 0$

Schritt 4.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{- x + 3}}{4}) = 0$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3} \cdot \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{- x + 3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{(- x + 3) \cdot 4}) = 0$

Schritt 4.1.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $- x + 3$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}$

Schritt 6

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} = e^{0} (4 (- x + 3))$

Schritt 7

Vereinfache $e^{0} (4 (- x + 3))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} = 1 (4 (- x + 3))$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $4 (- x + 3)$ mit $1$ .

$x^{2} = 4 (- x + 3)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 4 (- x) + 4 \cdot 3$

Schritt 7.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x^{2} = - 4 x + 4 \cdot 3$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{2} = - 4 x + 12$

Schritt 8

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x = 12$

Schritt 9

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 4 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x + 4 x = 12$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Schritt 9.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 4$ heraus.

$x (x + 4) = 12$

Schritt 10

Vereinfache $x (x + 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Schritt 10.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 = 12$

Schritt 10.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 4 x = 12$

Schritt 11

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Schritt 12

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $4$ ist.

$- 2, 6$

Schritt 12.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 6) = 0$

Schritt 13

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 14

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 15

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 15.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 6$

Schritt 17

Schließe die Lösungen aus, die $2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$ nicht erfüllen.

$x = 2$