Algebra Beispiele

$x^{5} - x$ , $x^{5} - x^{2}$ , $x^{5} - x^{3}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{5} - x$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 1$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x \cdot - 1$ heraus.

$x (x^{4} - 1)$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 1)$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 1.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{5} - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5} - x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{2} x^{3} - x^{2}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 1$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$x^{2} (x^{3} - 1)$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{2} (x^{3} - 1^{3})$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))$

Schritt 2.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{5} - x^{3}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - x^{3}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{2} - x^{3}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 1$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 1)$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{3} (x^{2} - 1^{2})$

Schritt 3.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{3} ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x + 1) (x - 1)$

Schritt 4

Da $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1), x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1), x^{3} (x + 1) (x - 1)$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, gibt es vier Schritte, um das kgV zu ermitteln. Bestimme das kgV für den numerischen, variablen und zusammengesetzten Teil. Multipliziere sie dann miteinander.

Schritte, um das kgV für $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1), x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1), x^{3} (x + 1) (x - 1)$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $x^{1}, x^{2}, x^{3}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $x^{2} + 1, x + 1, x - 1, x - 1, x^{2} + x + 1, x + 1, x - 1$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 5

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 7

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 8

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 9

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 10

Die Teiler von $x^{3}$ sind $x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $3$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $3$ -mal auf.

Schritt 11

Das kgV von $x^{1}, x^{2}, x^{3}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x$

Schritt 12

Vereinfache $x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Schritt 12.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 12.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Schritt 12.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1}$

Schritt 12.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3}$

Schritt 13

Der Teiler von $x^{2} + 1$ ist $x^{2} + 1$ selbst.

$(x^{2} + 1) = x^{2} + 1$

$(x^{2} + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 14

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 15

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 16

Der Teiler von $x^{2} + x + 1$ ist $x^{2} + x + 1$ selbst.

$(x^{2} + x + 1) = x^{2} + x + 1$

$(x^{2} + x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 17

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 18

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 19

Das kgV von $x^{2} + 1, x + 1, x - 1, x - 1, x^{2} + x + 1, x + 1, x - 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Schritt 20

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$x^{3} (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)$