Algebra Beispiele

$4 x^{\frac{6}{5}} - 16 x^{\frac{4}{5}} = 0$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{4}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$4 {(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{4}{5}}$

Schritt 2

Ersetze $x^{\frac{4}{5}}$ durch $u$ .

$4 {(u)}^{\frac{3}{2}} - 16 u = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u^{\frac{3}{2}} - 16 u$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$4 u (u^{\frac{1}{2}}) - 16 u = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4 u$ aus $- 16 u$ heraus.

$4 u (u^{\frac{1}{2}}) + 4 u (- 4) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u (u^{\frac{1}{2}}) + 4 u (- 4)$ heraus.

$4 u (u^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Schritt 3.3

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 3.4

Setze $u^{\frac{1}{2}} - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u^{\frac{1}{2}} - 4$ gleich $0$ .

$u^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $u^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{\frac{1}{2}} = 4$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Vereinfache ${(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = 4^{2}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$u = 4^{2}$

Schritt 3.4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$u = 16$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 u (u^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 16$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{4}{5}} = 0, 16$

Schritt 5

Löse nach $x^{\frac{4}{5}} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{4}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\pm 0^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{4 (\frac{5}{4})}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 0^{4 (\frac{5}{4})}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 0^{5}$

Schritt 5.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.1.4

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Löse nach $x^{\frac{4}{5}} = 16$ auf für $x$ .

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Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{4}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\pm 16^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$x = \pm {(2^{4})}^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{4 (\frac{5}{4})}$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 2^{4 (\frac{5}{4})}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 2^{5}$

Schritt 6.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x = \pm 32$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 32$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 32$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 32, - 32$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, 32, - 32$