Algebra Beispiele

$e^{\ln (x) + 1} = 2$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\ln (x) + 1}) = \ln (2)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (e^{\ln (x) + 1})$ durch Herausziehen von $\ln (x) + 1$ aus dem Logarithmus.

$(\ln (x) + 1) \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(\ln (x) + 1) \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\ln (x) + 1$ mit $1$ .

$\ln (x) + 1 = \ln (2)$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (x) - \ln (2) = - 1$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = - 1$

Schritt 5

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- 1}$

Schritt 6

Schreibe $\ln (\frac{x}{2}) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = \frac{x}{2}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{2} = e^{- 1}$ um.

$\frac{x}{2} = e^{- 1}$

Schritt 7.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- 1}$

Schritt 7.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 e^{- 1}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache $2 e^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e}$

Schritt 7.3.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e}$ .

$x = \frac{2}{e}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2}{e}$

Dezimalform:

$x = 0.73575888 \dots$