Algebra Beispiele

$\log_{2} (3 x^{2} - 3) - \log_{2} (2 x + 2) = 4$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{2} - 3}{2 x + 2}) = 4$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 3$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x + 2}) = 4$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x + 2}) = 4$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ heraus.

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x + 2}) = 4$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x + 2}) = 4$

Schritt 1.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 2}) = 4$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2}) = 4$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2 (1)}) = 4$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}) = 4$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}) = 4$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{3 (x - 1)}{2}) = 4$

Schritt 1.4

Schreibe $\frac{3 (x - 1)}{2}$ als $3 (x - 1) \cdot 2^{- 1}$ um.

$\log_{2} (3 (x - 1) \cdot 2^{- 1}) = 4$

Schritt 1.5

Schreibe $\log_{2} (3 (x - 1) \cdot 2^{- 1})$ als $\log_{2} (3 (x - 1)) + \log_{2} (2^{- 1})$ um.

$\log_{2} (3 (x - 1)) + \log_{2} (2^{- 1}) = 4$

Schritt 1.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{2} (3 (x - 1)) - \log_{2} (2) = 4$

Schritt 1.7

Die logarithmische Basis $2$ von $2$ ist $1$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) - 1 \cdot 1 = 4$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) - 1 = 4$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (3 x + 3 \cdot - 1) - 1 = 4$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\log_{2} (3 x - 3) - 1 = 4$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\log_{2} (3 x - 3)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{2} (3 x - 3) = 4 + 1$

Schritt 2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\log_{2} (3 x - 3) = 5$

Schritt 3

Schreibe $\log_{2} (3 x - 3) = 5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 3 x - 3$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 x - 3 = 2^{5}$ um.

$3 x - 3 = 2^{5}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$3 x - 3 = 32$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 32 + 3$

Schritt 4.3.2

Addiere $32$ und $3$ .

$3 x = 35$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 35$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 35$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{35}{3}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{35}{3}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{35}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{35}{3}$

Dezimalform:

$x = 11.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 11 \frac{2}{3}$