Algebra Beispiele

$10 \sin (\frac{π}{8}) \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$10 \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}) \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$10 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$10 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 1.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$10 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$10 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$10 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$10 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$10 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$10 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$10 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 1.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$10 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 (5) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 5 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

Schritt 3

Der genau Wert von $\cos (\frac{7 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{7 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot \cos (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Schritt 3.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})$

Schritt 3.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})$

Schritt 3.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 3.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 3.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 3.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 3.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Schritt 3.4.6

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Schritt 3.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Schritt 3.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Schritt 3.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 4

Multipliziere $5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ und $- 5$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot - 5}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot - 5}{2}$ und $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot - 5 \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 4.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 5 \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2}$

Schritt 4.5

Multipliziere $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 \sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2}$

Schritt 4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2}$

Schritt 4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2}$

Schritt 4.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2}$

Schritt 4.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2}$

Schritt 4.6.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2}$

Schritt 4.6.1.4

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.6.1.4.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2}$

Schritt 4.6.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2}$

Schritt 4.6.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2}$

Schritt 4.6.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Schritt 4.6.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Schritt 4.6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Schritt 4.6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 4.6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 4.6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2}$

Schritt 4.6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2}$

Schritt 4.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 4.6.3

Addiere $- 2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2 + 0}}{2}$

Schritt 4.6.4

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$- 3.53553390 \dots$