Algebra Beispiele

$y^{6 a} + 65 y^{3 a} + 64$

Schritt 1

Schreibe $y^{6 a}$ als ${(y^{3 a})}^{2}$ um.

${(y^{3 a})}^{2} + 65 y^{3 a} + 64$

Schritt 2

Es sei $u = y^{3 a}$ . Ersetze $u$ für alle $y^{3 a}$ .

$u^{2} + 65 u + 64$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + 65 u + 64$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $64$ und deren Summe $65$ ist.

$1, 64$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 1) (u + 64)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $y^{3 a}$ .

$(y^{3 a} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Schritt 5

Schreibe $y^{3 a}$ als ${(y^{a})}^{3}$ um.

$({(y^{a})}^{3} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$({(y^{a})}^{3} + 1^{3}) (y^{3 a} + 64)$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = y^{a}$ und $b = 1$ .

$(y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{2} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{a})}^{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{a \cdot 2} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Schritt 8.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Schritt 8.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Schritt 9

Schreibe $y^{3 a}$ als ${(y^{a})}^{3}$ um.

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{3} + 64)$

Schritt 10

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{3} + 4^{3})$

Schritt 11

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) ({(y^{a})}^{2} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Schritt 12

Faktorisiere.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{a})}^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{a \cdot 2} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Schritt 12.1.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 4^{2}))$

Schritt 12.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 16))$

Schritt 12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) (y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 16)$