Algebra Beispiele

$f (x) = e^{x} - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{x} - 1$ als Gleichung.

$y = e^{x} - 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = e^{y} - 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $e^{y} - 1 = x$ um.

$e^{y} - 1 = x$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} = x + 1$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 1)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (x + 1)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + 1)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (x + 1)$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 1)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (x + 1)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{x} - 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{x} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 1) = \ln ((e^{x} - 1) + 1)$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(e^{x} - 1) + 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 1) = \ln (e^{x} + 0)$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 1) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{x} - 1) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 1) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (x + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Schritt 5.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (x + 1)) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\ln (x + 1)) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\ln (x + 1)) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (x + 1)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 1)$