Algebra Beispiele

$y = \frac{2}{3} \arccos (3 x + \frac{1}{2})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\arccos (3 x + \frac{1}{2})$ größer oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$3 x + \frac{1}{2} \geq - 1$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x \geq - 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x \geq - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x \geq \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x \geq \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 x \geq \frac{- 2 - 1}{2}$

Schritt 2.1.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$3 x \geq \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x \geq - \frac{3}{2}$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq - \frac{3}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq - \frac{3}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- \frac{3}{2}}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- \frac{3}{2}}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- \frac{3}{2}}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \geq - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$x \geq \frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$x \geq \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \geq \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x \geq \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze das Argument in $\arccos (3 x + \frac{1}{2})$ kleiner oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$3 x + \frac{1}{2} \leq 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x \leq 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 x \leq \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x \leq \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$3 x \leq \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \leq \frac{1}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \leq \frac{1}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{\frac{1}{2}}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{\frac{1}{2}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\frac{1}{2}}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x \leq \frac{1}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x \leq \frac{1}{6}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{2}, \frac{1}{6}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{6}}$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \frac{2 π}{3}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | 0 \leq y \leq \frac{2 π}{3}}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{6}], {x | - \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{6}}$

Wertebereich: $[0, \frac{2 π}{3}], {y | 0 \leq y \leq \frac{2 π}{3}}$

Schritt 8