Algebra Beispiele

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \div \frac{x^{2} + 2 x - 15}{x^{2} + 5 x}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 2.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 9$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 3.2

Dividiere $(x + 3) (x - 3)$ durch $1$ .

$(x + 3) (x - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 4

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x - 3) + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$(x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 5.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$(x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 5.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 5$ heraus.

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Schritt 7.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x^{2} - 9) \frac{x}{x - 3}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $x^{2} - 9$ mit $\frac{x}{x - 3}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) x}{x - 3}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} - 3^{2}) x}{x - 3}$

Schritt 8.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

Schritt 9.1.2

Dividiere $(x + 3) x$ durch $1$ .

$(x + 3) x$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + 3 x$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 3 x$