Algebra Beispiele

$\sqrt{2}$ , $\sqrt{8}$

Schritt 1

$x = \sqrt{2}$ und $x = \sqrt{8}$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x - \sqrt{2}$ und $x - \sqrt{8}$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x - \sqrt{2}) (x - \sqrt{8}) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$(x - \sqrt{2}) (x - \sqrt{4 (2)}) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - \sqrt{2}) (x - \sqrt{2^{2} \cdot 2}) = 0$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(x - \sqrt{2}) (x - (2 \sqrt{2})) = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x - \sqrt{2}) (x - 2 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 3

Multipliziere $(x - \sqrt{2}) (x - 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (x - 2 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (x - 2 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} = 0$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2}) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2}) = 0$

Schritt 4.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} = 0$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 {\sqrt{2}}^{2} = 0$

Schritt 4.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0$

Schritt 4.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0$

Schritt 4.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} = 0$

Schritt 4.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} = 0$

Schritt 4.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 4.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 4 = 0$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- \sqrt{2} x$ um.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - x \sqrt{2} + 4 = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x \sqrt{2}$ von $x (- 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.3.1

Stelle $x$ und $- 2$ um.

$x^{2} - 2 \cdot (x \sqrt{2}) - x \sqrt{2} + 4 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x \sqrt{2}$ von $- 2 \cdot x \sqrt{2}$ .

$x^{2} - 3 x \sqrt{2} + 4 = 0$

Schritt 5

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${\sqrt{2}, \sqrt{8}}$ ist $y = x^{2} - 3 x \sqrt{2} + 4$ .

$y = x^{2} - 3 x \sqrt{2} + 4$

Schritt 6