Algebra Beispiele

$2 x - y^{2} = 4 y + 10$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - y^{2} - 4 y = 10$

Schritt 1.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - y^{2} - 4 y - 10 = 0$

Schritt 1.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.4

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 4$ und $c = 2 x - 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

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Schritt 1.5.1.2.1

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (2 x - 10)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.2.4

Schreibe $- 1 (2 x - 10 + 4)$ als $- (2 x - 10 + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.3

Addiere $- 10$ und $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 6$ heraus.

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Schritt 1.5.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 3$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $8 (x - 3)$ als $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ um.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Schritt 1.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Schritt 1.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ als $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

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Schritt 1.6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

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Schritt 1.6.1.2.1

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (2 x - 10)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.2.4

Schreibe $- 1 (2 x - 10 + 4)$ als $- (2 x - 10 + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.3

Addiere $- 10$ und $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 6$ heraus.

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Schritt 1.6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 3$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.7

Schreibe $8 (x - 3)$ als $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ um.

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Schritt 1.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Schritt 1.6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Schritt 1.6.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ als $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Schritt 1.6.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - (2 + \sqrt{2 (x - 3)})$

Schritt 1.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

Schritt 1.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

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Schritt 1.7.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ heraus.

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Schritt 1.7.1.2.1

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (2 x - 10)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.2.4

Schreibe $- 1 (2 x - 10 + 4)$ als $- (2 x - 10 + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.3

Addiere $- 10$ und $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 6$ heraus.

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Schritt 1.7.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 3$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.7

Schreibe $8 (x - 3)$ als $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ um.

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Schritt 1.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Schritt 1.7.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Schritt 1.7.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ als $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Schritt 1.7.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - (2 - \sqrt{2 (x - 3)})$

Schritt 1.7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Schritt 1.7.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Schritt 1.7.9

Multipliziere $- - \sqrt{2 (x - 3)}$ .

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Schritt 1.7.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - 2 + 1 \sqrt{2 (x - 3)}$

Schritt 1.7.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{2 (x - 3)}$ mit $1$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Schritt 1.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Die Standardform ist $- 2 - \sqrt{2 (x - 3)}, - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$ .

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Schritt 4