Algebra Beispiele

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = e^{\frac{y}{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $e^{\frac{y}{2}} = x$ um.

$e^{\frac{y}{2}} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln (e^{\frac{y}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{y}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{y}{2} \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{y}{2} \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $1$ .

$\frac{y}{2} = \ln (x)$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

Schritt 2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

Schritt 2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \ln (x)$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 4.2.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{x}{2}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Schritt 4.2.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (2 \ln (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (2 \ln (x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$