Algebra Beispiele

${(\frac{1}{5})}^{u^{2} + 8} = 125^{u^{2} - 3}$

Schritt 1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\frac{1^{u^{2} + 8}}{5^{u^{2} + 8}} = 125^{u^{2} - 3}$

Schritt 2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5^{u^{2} + 8}} = 125^{u^{2} - 3}$

Schritt 3

Bringe $5^{u^{2} + 8}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$5^{- (u^{2} + 8)} = 125^{u^{2} - 3}$

Schritt 4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{- (u^{2} + 8)} = 5^{3 (u^{2} - 3)}$

Schritt 5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$- (u^{2} + 8) = 3 (u^{2} - 3)$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $- (u^{2} + 8)$ .

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Schritt 6.1.1

Forme um.

$0 + 0 - (u^{2} + 8) = 3 (u^{2} - 3)$

Schritt 6.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (u^{2} + 8) = 3 (u^{2} - 3)$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} - 1 \cdot 8 = 3 (u^{2} - 3)$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- u^{2} - 8 = 3 (u^{2} - 3)$

Schritt 6.2

Vereinfache $3 (u^{2} - 3)$ .

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} - 8 = 3 u^{2} + 3 \cdot - 3$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- u^{2} - 8 = 3 u^{2} - 9$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die $u$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $3 u^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} - 8 - 3 u^{2} = - 9$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $3 u^{2}$ von $- u^{2}$ .

$- 4 u^{2} - 8 = - 9$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $u$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 u^{2} = - 9 + 8$

Schritt 6.4.2

Addiere $- 9$ und $8$ .

$- 4 u^{2} = - 1$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $- 4 u^{2} = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 u^{2} = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 u^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 u^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $u^{2}$ durch $1$ .

$u^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$u^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 6.7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 6.7.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$u = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.7.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.7.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.7.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 6.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 6.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$u = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$u = 0.5, - 0.5$