Algebra Beispiele

$f (x) = 3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 4$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 4$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 4 = 0$ um.

$3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 4 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$3 \frac{1^{x}}{2^{x}} - 4 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \frac{1}{2^{x}} - 4 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2^{x}}$ .

$\frac{3}{2^{x}} - 4 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{2^{x}} = 4$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten mit $2^{x}$ .

$\frac{3}{2^{x}} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{x}$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2^{x}} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}$

Schritt 1.2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = 4 \cdot 2^{x}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Multipliziere $4 \cdot 2^{x}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$3 = 2^{2} \cdot 2^{x}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 = 2^{2 + x}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $2^{2 + x} = 3$ um.

$2^{2 + x} = 3$

Schritt 1.2.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{2 + x}) = \ln (3)$

Schritt 1.2.6.3

Zerlege $\ln (2^{2 + x})$ durch Herausziehen von $2 + x$ aus dem Logarithmus.

$(2 + x) \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 1.2.6.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \ln (2) + x \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 1.2.6.5

Stelle $2 \ln (2)$ und $x \ln (2)$ um.

$x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 1.2.6.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (3) = 0$

Schritt 1.2.6.7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.7.1

Subtrahiere $2 \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) - \ln (3) = - 2 \ln (2)$

Schritt 1.2.6.7.2

Addiere $\ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (3)$

Schritt 1.2.6.8

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (3)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (3)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.2.6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.6.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.2.6.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.6.8.3.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$x = - 2 + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2 + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 {(\frac{1}{2})}^{0} - 4$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 {(\frac{1}{2})}^{0} - 4$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $3 {(\frac{1}{2})}^{0} - 4$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = 3 \frac{1^{0}}{2^{0}} - 4$

Schritt 2.2.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 3 \frac{1}{2^{0}} - 4$

Schritt 2.2.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 3 (\frac{1}{1}) - 4$

Schritt 2.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 (\frac{1}{1}) - 4$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 3 - 4$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$y = - 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2 + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 4