Algebra Beispiele

$\sqrt{x^{2} + 6 x} = x + \sqrt{2 x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} + 6 x}}^{2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 6 x}$ als ${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 6 x)}^{1} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 6 x = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x + \sqrt{2 x})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x + \sqrt{2 x})}^{2}$ als $(x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$ um.

$x^{2} + 6 x = (x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 6 x = x (x + \sqrt{2 x}) + \sqrt{2 x} (x + \sqrt{2 x})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 6 x = x \cdot x + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} (x + \sqrt{2 x})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 6 x = x \cdot x + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Multipliziere $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.5

Vereinfache.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + 2 x$

Schritt 2.3.1.3.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{2 x} x$ um.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + x \sqrt{2 x} + 2 x$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $x \sqrt{2 x}$ und $x \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x$

Schritt 3

Löse nach $2 x \sqrt{2 x}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x$ um.

$x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 x \sqrt{2 x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x - x^{2}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \sqrt{2 x} = x^{2} + 6 x - x^{2} - 2 x$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 6 x - x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 6 x + 0 - 2 x$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 6 x - 2 x$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $6 x$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 4 x$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 x \sqrt{2 x})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(2 x {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

${(2 x (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

${(2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(2^{1 + \frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(2^{\frac{2 + 1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.4.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.5

Addiere $1$ und $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende die Produktregel auf $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ an.

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{3} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(4 x)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$8 x^{3} = 4^{2} x^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} = 16 x^{2}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $16 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} - 16 x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $8 x^{3} - 16 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$8 x^{2} (x) - 16 x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (- 2) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (- 2)$ heraus.

$8 x^{2} (x - 2) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 x^{2} (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$