Algebra Beispiele

$16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8} = {(\frac{1}{32})}^{2 y - 3}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 2

Schreibe $\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8})$ als $\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8})$ um.

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{1}{8})$ als $\ln (1) - \ln (8)$ um.

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (16^{- 3 y})$ durch Herausziehen von $- 3 y$ aus dem Logarithmus.

$- 3 y \ln (16) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 6

Schreibe $\ln (8)$ als $\ln (2^{3})$ um.

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (2^{3}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 7

Zerlege $\ln (2^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$- 3 y \ln (16) + 0 - (3 \ln (2)) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 9

Subtrahiere $3 \ln (2)$ von $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Schritt 10

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$ durch Herausziehen von $2 y - 3$ aus dem Logarithmus.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) \ln (\frac{1}{32})$

Schritt 11

Schreibe $\ln (\frac{1}{32})$ als $\ln (1) - \ln (32)$ um.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (\ln (1) - \ln (32))$

Schritt 12

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (32))$

Schritt 13

Schreibe $\ln (32)$ als $\ln (2^{5})$ um.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (2^{5}))$

Schritt 14

Zerlege $\ln (2^{5})$ durch Herausziehen von $5$ aus dem Logarithmus.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - (5 \ln (2)))$

Schritt 15

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - 5 \ln (2))$

Schritt 16

Subtrahiere $5 \ln (2)$ von $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (- 5 \ln (2))$

Schritt 17

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 17.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = 2 y (- 5 \ln (2)) - 3 (- 5 \ln (2))$

Schritt 17.1.2

Multipliziere.

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Schritt 17.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) - 3 (- 5 \ln (2))$

Schritt 17.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Schritt 17.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 17.2.1

Vereinfache $- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2)$ .

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Schritt 17.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.2.1.1.1

Vereinfache $- 3 \ln (16)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y (- \ln (16^{3})) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Schritt 17.2.1.1.2

Potenziere $16$ mit $3$ .

$y (- \ln (4096)) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Schritt 17.2.1.1.3

Vereinfache $- 3 \ln (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y (- \ln (4096)) - \ln (2^{3}) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Schritt 17.2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y (- \ln (4096)) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Schritt 17.2.1.2

Stelle die Faktoren in $y (- \ln (4096)) - \ln (8)$ um.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Schritt 17.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.3.1

Vereinfache $- 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$ .

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Schritt 17.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.3.1.1.1

Vereinfache $- 10 \ln (2)$ , indem du $10$ in den Logarithmus ziehst.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (2^{10})) + 15 \ln (2)$

Schritt 17.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $10$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + 15 \ln (2)$

Schritt 17.3.1.1.3

Vereinfache $15 \ln (2)$ , indem du $15$ in den Logarithmus ziehst.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (2^{15})$

Schritt 17.3.1.1.4

Potenziere $2$ mit $15$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$

Schritt 17.3.1.2

Stelle die Faktoren in $y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$ um.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - y \ln (1024) + \ln (32768)$

Schritt 17.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- y \ln (4096) - \ln (8) + y \ln (1024) - \ln (32768) = 0$

Schritt 17.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 17.5.1

Addiere $\ln (8)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) - \ln (32768) = \ln (8)$

Schritt 17.5.2

Addiere $\ln (32768)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Schritt 17.6

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (4096) + y \ln (1024)$ heraus.

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Schritt 17.6.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (4096)$ heraus.

$y (- 1 \ln (4096)) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Schritt 17.6.2

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (1024)$ heraus.

$y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Schritt 17.6.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024))$ heraus.

$y (- 1 \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Schritt 17.7

Schreibe $- 1 \ln (4096)$ als $- \ln (4096)$ um.

$y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Schritt 17.8

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ durch $- \ln (4096) + \ln (1024)$ und vereinfache.

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Schritt 17.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ durch $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Schritt 17.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 17.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

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Schritt 17.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Schritt 17.8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Schritt 17.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Schritt 17.8.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4096)$ heraus.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Schritt 17.8.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (1024)$ heraus.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))}$

Schritt 17.8.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))$ heraus.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Schritt 17.8.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 17.8.3.5.1

Schreibe $- (\ln (4096) - \ln (1024))$ als $- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))$ um.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Schritt 17.8.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Dezimalform:

$y = - 9.000000000000 \dots$