Algebra Beispiele

${(\sqrt{20 - x})}^{3} = 343$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{20 - x}$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $343$ von beiden Seiten der Gleichung.

${\sqrt{20 - x}}^{3} - 343 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $343$ als $7^{3}$ um.

${\sqrt{20 - x}}^{3} - 7^{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = \sqrt{20 - x}$ und $b = 7$ .

$(\sqrt{20 - x} - 7) ({\sqrt{20 - x}}^{2} + \sqrt{20 - x} \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\sqrt{20 - x}$ .

$(\sqrt{20 - x} - 7) ({\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 7^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$(\sqrt{20 - x} - 7) ({\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49) = 0$

Schritt 1.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sqrt{20 - x} - 7 = 0$

${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49 = 0$

Schritt 1.4

Setze $\sqrt{20 - x} - 7$ gleich $0$ und löse nach $\sqrt{20 - x}$ auf.

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Schritt 1.4.1

Setze $\sqrt{20 - x} - 7$ gleich $0$ .

$\sqrt{20 - x} - 7 = 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{20 - x} = 7$

Schritt 1.5

Setze ${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49$ gleich $0$ und löse nach $\sqrt{20 - x}$ auf.

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Schritt 1.5.1

Setze ${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49$ gleich $0$ .

${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49 = 0$

Schritt 1.5.2

Löse ${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49 = 0$ nach $\sqrt{20 - x}$ auf.

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Schritt 1.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 7$ und $c = 49$ in die Quadratformel ein und löse nach $\sqrt{20 - x}$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $49$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.3

Subtrahiere $196$ von $49$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.4

Schreibe $- 147$ als $- 1 (147)$ um.

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (147)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ um.

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.7

Schreibe $147$ als $7^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $49$ aus $147$ heraus.

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.7.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.1.9

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$\sqrt{20 - x} = - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sqrt{20 - x} - 7) ({\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49) = 0$ wahr machen.

$\sqrt{20 - x} = 7, - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Löse in $\sqrt{20 - x} = 7$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{20 - x}}^{2} = 7^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{20 - x}$ als ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 7^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(20 - x)}^{1} = 7^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache.

$20 - x = 7^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$20 - x = 49$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 49 - 20$

Schritt 2.3.1.2

Subtrahiere $20$ von $49$ .

$- x = 29$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 29$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 29$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{29}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{29}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{29}{- 1}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $29$ durch $- 1$ .

$x = - 29$

Schritt 3

Löse in $\sqrt{20 - x} = - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{20 - x}}^{2} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{20 - x}$ als ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(20 - x)}^{1} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache.

$20 - x = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache ${(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ an.

$20 - x = {(- 1)}^{2} {(\frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ an.

$20 - x = {(- 1)}^{2} \frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$20 - x = 1 \frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$20 - x = \frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.2.4

Schreibe ${(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}$ als $(7 - 7 i \sqrt{3}) (7 - 7 i \sqrt{3})$ um.

$20 - x = \frac{(7 - 7 i \sqrt{3}) (7 - 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.3

Multipliziere $(7 - 7 i \sqrt{3}) (7 - 7 i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$20 - x = \frac{7 (7 - 7 i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} (7 - 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$20 - x = \frac{7 \cdot 7 + 7 (- 7 i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} (7 - 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$20 - x = \frac{7 \cdot 7 + 7 (- 7 i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} \cdot 7 - 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.4.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 7 (- 7 i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} \cdot 7 - 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 (i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} \cdot 7 - 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4

Multipliziere $- 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.2.3.1.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $49$ mit $- 1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.3.1.4.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.4.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{1}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.1.8

Mutltipliziere $- 49$ mit $3$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 147}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.2

Subtrahiere $147$ von $49$ .

$20 - x = \frac{- 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 98}{4}$

Schritt 3.2.3.1.4.3

Subtrahiere $49 i \sqrt{3}$ von $- 49 i \sqrt{3}$ .

$20 - x = \frac{- 98 i \sqrt{3} - 98}{4}$

Schritt 3.2.3.1.5

Stelle $- 98 i \sqrt{3}$ und $- 98$ um.

$20 - x = \frac{- 98 - 98 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 98 - 98 i \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 3.2.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 98$ heraus.

$20 - x = \frac{2 (- 49) - 98 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.2.3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 98 i \sqrt{3}$ heraus.

$20 - x = \frac{2 (- 49) + 2 (- 49 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 49) + 2 (- 49 i \sqrt{3})$ heraus.

$20 - x = \frac{2 (- 49 - 49 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3.2.3.1.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$20 - x = \frac{2 (- 49 - 49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.1.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 - x = \frac{2 (- 49 - 49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.1.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$20 - x = \frac{- 49 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.3.1.7

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$20 - x = \frac{- 1 (49) - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.3.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 49 i \sqrt{3}$ heraus.

$20 - x = \frac{- 1 (49) - (49 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 3.2.3.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (49) - (49 i \sqrt{3})$ heraus.

$20 - x = \frac{- 1 (49 + 49 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 3.2.3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$20 - x = - \frac{49 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - \frac{49 + 49 i \sqrt{3}}{2} - 20$

Schritt 3.3.1.2

Um $- 20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- x = - \frac{49 + 49 i \sqrt{3}}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $- 20$ und $\frac{2}{2}$ .

$- x = - \frac{49 + 49 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x = \frac{- 89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe $- 89$ als $- 1 (89)$ um.

$- x = \frac{- 1 (89) - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 49 i \sqrt{3}$ heraus.

$- x = \frac{- 1 (89) - (49 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 3.3.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (89) - (49 i \sqrt{3})$ heraus.

$- x = \frac{- 1 (89 + 49 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 3.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x = - \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}}{1}$

Schritt 3.3.2.3.2

Dividiere $\frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$ durch $1$ .

$x = \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Löse in $\sqrt{20 - x} = - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{20 - x}}^{2} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{20 - x}$ als ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(20 - x)}^{1} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$20 - x = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache ${(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ an.

$20 - x = {(- 1)}^{2} {(\frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ an.

$20 - x = {(- 1)}^{2} \frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$20 - x = 1 \frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$20 - x = \frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.2.4

Schreibe ${(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}$ als $(7 + 7 i \sqrt{3}) (7 + 7 i \sqrt{3})$ um.

$20 - x = \frac{(7 + 7 i \sqrt{3}) (7 + 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.3

Multipliziere $(7 + 7 i \sqrt{3}) (7 + 7 i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$20 - x = \frac{7 (7 + 7 i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} (7 + 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$20 - x = \frac{7 \cdot 7 + 7 (7 i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} (7 + 7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$20 - x = \frac{7 \cdot 7 + 7 (7 i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} \cdot 7 + 7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.4.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 7 (7 i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} \cdot 7 + 7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 (i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} \cdot 7 + 7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4

Multipliziere $7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.2.3.1.4.1.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $49$ mit $- 1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.3.1.4.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.4.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{1}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.1.8

Mutltipliziere $- 49$ mit $3$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 147}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Subtrahiere $147$ von $49$ .

$20 - x = \frac{49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 98}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.3

Addiere $49 i \sqrt{3}$ und $49 i \sqrt{3}$ .

$20 - x = \frac{98 i \sqrt{3} - 98}{4}$

Schritt 4.2.3.1.5

Stelle $98 i \sqrt{3}$ und $- 98$ um.

$20 - x = \frac{- 98 + 98 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 98 + 98 i \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 98$ heraus.

$20 - x = \frac{2 (- 49) + 98 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2.3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $98 i \sqrt{3}$ heraus.

$20 - x = \frac{2 (- 49) + 2 (49 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 49) + 2 (49 i \sqrt{3})$ heraus.

$20 - x = \frac{2 (- 49 + 49 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.1.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$20 - x = \frac{2 (- 49 + 49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 - x = \frac{2 (- 49 + 49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$20 - x = \frac{- 49 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.3.1.7

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$20 - x = \frac{- 1 (49) + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.3.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $49 i \sqrt{3}$ heraus.

$20 - x = \frac{- 1 (49) - (- 49 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.2.3.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (49) - (- 49 i \sqrt{3})$ heraus.

$20 - x = \frac{- 1 (49 - 49 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.2.3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$20 - x = - \frac{49 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - \frac{49 - 49 i \sqrt{3}}{2} - 20$

Schritt 4.3.1.2

Um $- 20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- x = - \frac{49 - 49 i \sqrt{3}}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.1.3

Kombiniere $- 20$ und $\frac{2}{2}$ .

$- x = - \frac{49 - 49 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x = \frac{- 89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.1.5

Schreibe $- 89$ als $- 1 (89)$ um.

$- x = \frac{- 1 (89) + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $49 i \sqrt{3}$ heraus.

$- x = \frac{- 1 (89) - (- 49 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.3.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (89) - (- 49 i \sqrt{3})$ heraus.

$- x = \frac{- 1 (89 - 49 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x = - \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}}{1}$

Schritt 4.3.2.3.2

Dividiere $\frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$ durch $1$ .

$x = \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$x = - 29, \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}, \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$