Algebra Beispiele

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)} = \frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Schritt 2.3

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \tan (x)}$

Schritt 2.4

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sin (x)}$ in den Zähler.

$\frac{\sin (x) + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\sin (x) - 1) \cos (x)$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \cos (x) - 1 \cos (x)$

Schritt 3.6

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$\sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$

Schritt 5

Schreibe $- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ als $\frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$ um.

$\frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)} = \frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$ ist eine Identitätsgleichung