Algebra Beispiele

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{((0) - 1)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $\frac{{((0) - 1)}^{2}}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1 + \frac{{((0) - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $1 + \frac{{((0) - 1)}^{2}}{4}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1 + \frac{{(- 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1 + \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{4 + 1}{4}$

Schritt 1.2.2.5

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 9 (\frac{5}{4})$

Schritt 1.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 9 (\frac{5}{4})$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{2} = 9 (\frac{5}{4})$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere $9 (\frac{5}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Kombiniere $9$ und $\frac{5}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{9 \cdot 5}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{45}{4}$

Schritt 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{45}{4}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{45}{4}}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{45}{4}}$ als $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ um.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - 2 = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.6.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - 2 = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.2.6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 2 = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 2 = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2$

Schritt 1.2.7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 2 = - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.2.7.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2$

Schritt 1.2.7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, 0), (- \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{{((0) - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $\frac{{((0) - 2)}^{2}}{9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1 - \frac{{((0) - 2)}^{2}}{9}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $1 - \frac{{((0) - 2)}^{2}}{9}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{9}$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1 - \frac{4}{9}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9}$

Schritt 2.2.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{9 - 4}{9}$

Schritt 2.2.2.2.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{5}{9}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4}) = - 4 (\frac{5}{9})$

Schritt 2.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{4} = - 4 (\frac{5}{9})$

Schritt 2.2.4.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{4} = - 4 (\frac{5}{9})$

Schritt 2.2.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{4} = - 4 (\frac{5}{9})$

Schritt 2.2.4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 4 (\frac{5}{9})$

Schritt 2.2.4.1.1.2

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 4 (\frac{5}{9})$

Schritt 2.2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere ${(y - 1)}^{2}$ mit $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 4 (\frac{5}{9})$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Vereinfache $- 4 (\frac{5}{9})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1.1

Multipliziere $- 4 (\frac{5}{9})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1.1.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{- 4 \cdot 5}{9}$

Schritt 2.2.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{- 20}{9}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y - 1)}^{2} = - \frac{20}{9}$

Schritt 2.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{- \frac{20}{9}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{20}{9}}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $- \frac{20}{9}$ als ${(\frac{2 i}{3})}^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.2.6.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$y - 1 = \pm \sqrt{i^{2} \frac{20}{9}}$

Schritt 2.2.6.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $20$ heraus.

$y - 1 = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2} \cdot 5}{9}}$

Schritt 2.2.6.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y - 1 = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2} \cdot 5}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.2.6.1.4

Ordne den Bruch $\frac{2^{2} \cdot 5}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y - 1 = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{2}{3})}^{2} \cdot 5)}$

Schritt 2.2.6.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}$ als ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ um.

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2} \cdot 5}$

Schritt 2.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y - 1 = \pm \frac{2 i}{3} \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6.3

Kombiniere $\frac{2 i}{3}$ und $\sqrt{5}$ .

$y - 1 = \pm \frac{2 i \sqrt{5}}{3}$

Schritt 2.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 1 = \frac{2 i \sqrt{5}}{3}$

Schritt 2.2.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2 i \sqrt{5}}{3} + 1$

Schritt 2.2.7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 1 = - \frac{2 i \sqrt{5}}{3}$

Schritt 2.2.7.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2 i \sqrt{5}}{3} + 1$

Schritt 2.2.7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{2 i \sqrt{5}}{3} + 1, - \frac{2 i \sqrt{5}}{3} + 1$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, 0), (- \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4