Algebra Beispiele

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2} = 1$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2}) = \ln (1)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2})$ durch Herausziehen von $x^{2} - x - 2$ aus dem Logarithmus.

$(x^{2} - x - 2) \ln (\frac{1}{2}) = \ln (1)$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{1}{2})$ als $\ln (1) - \ln (2)$ um.

$(x^{2} - x - 2) (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (0 - \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 2.4

Subtrahiere $\ln (2)$ von $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x^{2} - x - 2) (- \ln (2))$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (- \ln (2)) - x (- \ln (2)) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Multipliziere $- x (- \ln (2))$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + 1 x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 3.1.3

Stelle die Faktoren in $x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2)$ um.

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - \ln (2)$ , $b = \ln (2)$ und $c = 2 \ln (2)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) - 4 \cdot (- \ln (2) \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $\ln^{2} (2) - 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $\ln^{2} (2)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) - 4 \cdot (- 1 \ln (2)) \cdot (2 \ln (2))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $- 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))$ heraus.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.2.2

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $\ln^{1} (2)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.2.4

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 - 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 4 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 8))}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.4

Addiere $1$ und $8$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.1.5.1

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.5.2

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{\ln (2)}^{1 + 1} \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\ln^{2} (2) \cdot 9$ als ${(\ln (2) \cdot 3)}^{2}$ um.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{(\ln (2) \cdot 3)}^{2}}}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \ln (2) \cdot 3}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.1.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{2 (- \ln (2))}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$ .

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2, - 1$