Algebra Beispiele

$y x^{6} + 27 y^{7}$

Schritt 1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{6} + 27 y^{7}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{6}$ heraus.

$y (x^{6}) + 27 y^{7}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $27 y^{7}$ heraus.

$y (x^{6}) + y (27 y^{6})$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{6}) + y (27 y^{6})$ heraus.

$y (x^{6} + 27 y^{6})$

Schritt 2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$y ({(x^{2})}^{3} + 27 y^{6})$

Schritt 3

Schreibe $27 y^{6}$ als ${(3 y^{2})}^{3}$ um.

$y ({(x^{2})}^{3} + {(3 y^{2})}^{3})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x^{2}$ und $b = 3 y^{2}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Schritt 5.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Schritt 5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 1 \cdot 3 x^{2} y^{2} + {(3 y^{2})}^{2}))$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + {(3 y^{2})}^{2}))$

Schritt 5.1.4

Wende die Produktregel auf $3 y^{2}$ an.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3^{2} {(y^{2})}^{2}))$

Schritt 5.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 {(y^{2})}^{2}))$

Schritt 5.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{2 \cdot 2}))$

Schritt 5.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}))$

Schritt 5.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 5.1.7.1

Schreibe $x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.7.1.1

Forme den mittleren Term um.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} + 2 x^{2} (3 y^{2}) - 9 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}))$

Schritt 5.1.7.1.2

Ordne Terme um.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} + 2 x^{2} (3 y^{2}) + 9 y^{4} - 9 x^{2} y^{2}))$

Schritt 5.1.7.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2} + 3 y^{2})}^{2} - 9 x^{2} y^{2}))$

Schritt 5.1.7.1.4

Schreibe $9 x^{2} y^{2}$ als ${(3 x y)}^{2}$ um.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2} + 3 y^{2})}^{2} - {(3 x y)}^{2}))$

Schritt 5.1.7.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2} + 3 y^{2}$ und $b = 3 x y$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - (3 x y))))$

Schritt 5.1.7.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.1.7.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 (x y))))$

Schritt 5.1.7.1.6.2

Entferne die Klammern.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y)))$

Schritt 5.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y)$