Algebra Beispiele

$2 x^{4} + 3 x^{3} + 6 x^{2} - 2$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {0.5}^{4} + 3 \cdot {0.5}^{3} + 6 \cdot {0.5}^{2} - 2$

Schritt 3.2

Potenziere $0.5$ mit $4$ .

$2 \cdot 0.0625 + 3 \cdot {0.5}^{3} + 6 \cdot {0.5}^{2} - 2$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.0625$ .

$0.125 + 3 \cdot {0.5}^{3} + 6 \cdot {0.5}^{2} - 2$

Schritt 3.4

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$0.125 + 3 \cdot 0.125 + 6 \cdot {0.5}^{2} - 2$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $0.125$ .

$0.125 + 0.375 + 6 \cdot {0.5}^{2} - 2$

Schritt 3.6

Addiere $0.125$ und $0.375$ .

$0.5 + 6 \cdot {0.5}^{2} - 2$

Schritt 3.7

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$0.5 + 6 \cdot 0.25 - 2$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $6$ mit $0.25$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Schritt 3.9

Addiere $0.5$ und $1.5$ .

$2 - 2$

Schritt 3.10

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{4} + 3 x^{3} + 6 x^{2} - 2}{2 x - 1}$

Schritt 5

Dividiere $2 x^{4} + 3 x^{3} + 6 x^{2} - 2$ durch $2 x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 2 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$4 x$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{2} - 4 x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$4 x$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$4 x$

Schritt 5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$4 x$

$2$

Schritt 5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$4 x$

$2$

Schritt 5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$4 x$

$2$

$4 x$

$2$

Schritt 5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$4 x$

$2$

$4 x$

$2$

Schritt 5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$4 x$

$2$

$4 x$

$2$

$0$

Schritt 5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 2$

Schritt 6

Schreibe $2 x^{4} + 3 x^{3} + 6 x^{2} - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 2)$