Algebra Beispiele

$\log_{6} (x^{2} - 4) - \log_{6} (3 x + 6) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 6}) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{6} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 6}) = 0$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 6}) = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x) + 6}) = 0$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x + 2)}) = 0$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x + 2)}) = 0$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{6} (\frac{x - 2}{3}) = 0$

Schritt 2

Schreibe $\log_{6} (\frac{x - 2}{3}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{x - 2}{3}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x - 2}{3} = 6^{0}$ um.

$\frac{x - 2}{3} = 6^{0}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x - 2}{3} = 3 \cdot 6^{0}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x - 2}{3} = 3 \cdot 6^{0}$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 2 = 3 \cdot 6^{0}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $3 \cdot 6^{0}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - 2 = 3 \cdot 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x - 2 = 3$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 + 2$

Schritt 3.4.2

Addiere $3$ und $2$ .

$x = 5$