Algebra Beispiele

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{\frac{4}{3}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{2}{3}}$ .

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 10 u + 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $9$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 9, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Schritt 6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{\frac{1}{3}}$ und $b = 3$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Schritt 8

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

Schritt 9

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{\frac{1}{3}}$ und $b = 1$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Schritt 12

Setze $x^{\frac{1}{3}} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x^{\frac{1}{3}} + 3$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Schritt 12.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 12.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 12.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 12.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 12.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 12.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 12.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 3)}^{3}$

Schritt 12.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$x = - 27$

Schritt 13

Setze $x^{\frac{1}{3}} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x^{\frac{1}{3}} - 3$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Schritt 13.2

Löse $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

Schritt 13.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 13.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 13.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 13.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Schritt 13.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Schritt 13.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 3^{3}$

Schritt 13.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 3^{3}$

Schritt 13.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.3.2.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = 27$

Schritt 14

Setze $x^{\frac{1}{3}} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x^{\frac{1}{3}} + 1$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Schritt 14.2

Löse $x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 14.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 14.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 1$

Schritt 15

Setze $x^{\frac{1}{3}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x^{\frac{1}{3}} - 1$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Schritt 15.2

Löse $x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Schritt 15.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 15.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 15.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 15.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 15.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 15.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 15.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 1^{3}$

Schritt 15.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 1^{3}$

Schritt 15.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = 1$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 27, 27, - 1, 1$