Algebra Beispiele

$\log_{2} (\frac{3}{25}) + 5 \log_{2} (5) + \log_{2} (27) - \log_{2} (\frac{125}{12}) - \log_{2} (243)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot 27) - \log_{2} (\frac{125}{12}) - \log_{2} (243)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}) - \log_{2} (243)$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Vereinfache $5 \log_{2} (5)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (5^{5}) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $5$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{243})$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $27$ aus $\frac{3}{25} \cdot 27$ heraus.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{243})$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $27$ aus $243$ heraus.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{27 (9)})$

Schritt 4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{27 \cdot 9})$

Schritt 4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{9})$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12}}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12} \cdot 9})$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{125}{12}$ und $9$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125 \cdot 9}{12}})$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $125$ mit $9$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{1125}{12}})$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1125$ und $12$ .

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $1125$ heraus.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 (375)}{12}})$

Schritt 4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 \cdot 375}{3 \cdot 4}})$

Schritt 4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 \cdot 375}{3 \cdot 4}})$

Schritt 4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{375}{4}})$

Schritt 4.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{375})$

Schritt 4.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.10.1

Faktorisiere $3$ aus $375$ heraus.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{3 (125)})$

Schritt 4.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{3 \cdot 125})$

Schritt 4.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{1}{25} \cdot \frac{4}{125})$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{1}{25}$ mit $\frac{4}{125}$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{4}{25 \cdot 125})$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $25$ mit $125$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{4}{3125})$

Schritt 5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (3125 (\frac{4}{3125}))$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3125$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (3125 (\frac{4}{3125}))$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (4)$

Schritt 7

Die logarithmische Basis $2$ von $4$ ist $2$ .

$2$