Algebra Beispiele

$y = 5^{\frac{x}{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 5^{\frac{y}{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $5^{\frac{y}{2}} = x$ um.

$5^{\frac{y}{2}} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln (5^{\frac{y}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{y}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{y}{2} \ln (5) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{y}{2}$ und $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} = \ln (x)$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2} = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2} = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\ln (5)} (y \ln (5)) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $\ln (5)$ aus $y \ln (5)$ heraus.

$\frac{1}{\ln (5)} (\ln (5) y) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\ln (5)} (\ln (5) y) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{\ln (5)}$ und $\ln (x)$ .

$y = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5^{\frac{x}{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}}$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 \ln (5^{\frac{x}{2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (5^{\frac{x}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{x}{2}$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (5))}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (5))}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $2 (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}{2}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (x)$ heraus.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 (\ln (x))}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Schritt 4.3.5

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Schritt 4.3.6

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$