Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + x}{2} = \frac{8 x - 7}{3}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x}{2} = \frac{8 x - 7}{3}$

Schritt 1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x + x^{1}}{2} = \frac{8 x - 7}{3}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1}{2} = \frac{8 x - 7}{3}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{x (x + 1)}{2} = \frac{8 x - 7}{3}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$x (x + 1) \cdot 3 = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $x (x + 1) \cdot 3$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (x + 1) \cdot 3 = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot 1) \cdot 3 = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1) \cdot 3 = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + x) \cdot 3 = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 3 + x \cdot 3 = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3.1.2.4

Stelle um.

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Schritt 3.1.2.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} + x \cdot 3 = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3.1.2.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 \cdot x^{2} + 3 \cdot x = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 3 x = 2 (8 x - 7)$

Schritt 3.2

Vereinfache $2 (8 x - 7)$ .

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 x = 2 (8 x) + 2 \cdot - 7$

Schritt 3.2.2

Multipliziere.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$3 x^{2} + 3 x = 16 x + 2 \cdot - 7$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$3 x^{2} + 3 x = 16 x - 14$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 3 x - 16 x = - 14$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $16 x$ von $3 x$ .

$3 x^{2} - 13 x = - 14$

Schritt 3.4

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 13 x + 14 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 14 = 42$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$3 x^{2} - 13 x + 14 = 0$

Schritt 3.5.1.2

Schreibe $- 13$ um als $- 6$ plus $- 7$

$3 x^{2} + (- 6 - 7) x + 14 = 0$

Schritt 3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 6 x - 7 x + 14 = 0$

Schritt 3.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 6 x) - 7 x + 14 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (x - 2) - 7 (x - 2) = 0$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$(x - 2) (3 x - 7) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.8

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Schritt 3.8.2

Löse $3 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 7$

Schritt 3.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 3.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 3.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (3 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 2, \frac{7}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2, \frac{7}{3}$

Dezimalform:

$x = 2, 2.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2, 2 \frac{1}{3}$