Algebra Beispiele

$2 x^{3} + 2 x - 3 = - 0.5 | x - 4 |$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ um.

$- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ durch $- 0.5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ durch $- 0.5$ .

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $| x - 4 |$ durch $1$ .

$| x - 4 | = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$| x - 4 | = - \frac{2 x^{3}}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5$ heraus.

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5 (1)} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.4

Separiere Brüche.

$| x - 4 | = - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.5

Dividiere $2$ durch $0.5$ .

$| x - 4 | = - (4 \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.6

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$| x - 4 | = - (4 x^{3}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 x}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.9

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.10

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5$ heraus.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5 (1)} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.11

Separiere Brüche.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.12

Dividiere $2$ durch $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.13

Dividiere $x$ durch $1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 x) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.14

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + \frac{- 3}{- 0.5}$

Schritt 2.3.1.15

Dividiere $- 3$ durch $- 0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 4 = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 4 = - (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Schritt 4.3

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Schritt 4.4

Vereinfache $- (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$ .

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Schritt 4.4.1

Forme um.

$0 + 0 - (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Schritt 4.4.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Schritt 4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- 4 x^{3}) - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Schritt 4.4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Schritt 4.4.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 6 = x - 4$

Schritt 4.4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$4 x^{3} + 4 x - 6 = x - 4$

Schritt 4.5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + 4 x - 6 - x = - 4$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$4 x^{3} + 3 x - 6 = - 4$

Schritt 4.6

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + 3 x - 6 + 4 = 0$

Schritt 4.7

Addiere $- 6$ und $4$ .

$4 x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Schritt 4.8

Faktorisiere $4 x^{3} + 3 x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.8.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 4.8.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 4.8.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.8.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Schritt 4.8.3.2

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Schritt 4.8.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Schritt 4.8.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Schritt 4.8.3.5

Addiere $0.5$ und $1.5$ .

$2 - 2$

Schritt 4.8.3.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 4.8.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Schritt 4.8.5

Dividiere $4 x^{3} + 3 x - 2$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 4.8.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 4.8.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Schritt 4.8.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 4.8.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 4.8.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 4.8.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 4.8.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 4.8.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Schritt 4.8.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 4.8.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Schritt 4.8.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Schritt 4.8.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Schritt 4.8.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Schritt 4.8.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 2$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Schritt 4.8.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 4.8.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + x + 2$

Schritt 4.8.6

Schreibe $4 x^{3} + 3 x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 4.9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Schritt 4.10

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.10.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4.10.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.10.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 4.10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.11

Setze $2 x^{2} + x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.11.1

Setze $2 x^{2} + x + 2$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Schritt 4.11.2

Löse $2 x^{2} + x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.11.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.11.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 1$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.11.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 4.11.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2.3.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 4.11.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 4.12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$