Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} (3 - 3 x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} (3 - 3 x)$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} (3 - 3 x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot (3 - 3 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 y) = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 y) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 y)) = 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 y))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} (- 3 y)) = 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$2 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} (- 3 y)) = 2 x$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (- 3 y)$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} + \frac{- 3}{2} y) = 2 x$

Schritt 3.3.1.3.2

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $y$ .

$2 (\frac{3}{2} + \frac{- 3 y}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{3}{2} - \frac{3 y}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{3}{2}) + 2 (- \frac{3 y}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{3}{2}) + 2 (- \frac{3 y}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$3 + 2 (- \frac{3 y}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y}{2}$ in den Zähler.

$3 + 2 \frac{- 3 y}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + 2 \frac{- 3 y}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$3 - 3 y = 2 x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 2 x - 3$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 2 x - 3$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 2 x - 3$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{2 x}{- 3} + \frac{- 3}{- 3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{2 x}{- 3} + \frac{- 3}{- 3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{- 3} + \frac{- 3}{- 3}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 3}{- 3}$

Schritt 3.5.3.1.2

Dividiere $- 3$ durch $- 3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{3} + 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{3} + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - \frac{2 (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x))}{3} + 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - 3 x$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - \frac{3 (2 (\frac{1}{2} \cdot (1 - x)))}{3} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - \frac{3 (2 (\frac{1}{2} \cdot (1 - x)))}{3 (1)} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - \frac{3 (2 (\frac{1}{2} \cdot (1 - x)))}{3 \cdot 1} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - \frac{2 (\frac{1}{2} \cdot (1 - x))}{1} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Dividiere $2 (\frac{1}{2} \cdot (1 - x))$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (2 (\frac{1}{2} \cdot (1 - x))) + 1$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (2 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- x))) + 1$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- x))) + 1$

Schritt 5.2.3.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (2 (\frac{1}{2} - \frac{x}{2})) + 1$

Schritt 5.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{x}{2})) + 1$

Schritt 5.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{x}{2})) + 1$

Schritt 5.2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (1 + 2 (- \frac{x}{2})) + 1$

Schritt 5.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (1 + 2 (\frac{- x}{2})) + 1$

Schritt 5.2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (1 + 2 (\frac{- x}{2})) + 1$

Schritt 5.2.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - (1 - x) + 1$

Schritt 5.2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - 1 \cdot 1 + x + 1$

Schritt 5.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - 1 + x + 1$

Schritt 5.2.3.10

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - 1 + 1 x + 1$

Schritt 5.2.3.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = - 1 + x + 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + x + 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{2 x}{3} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (3 - 3 (- \frac{2 x}{3} + 1))$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (3 - 3 (- \frac{2 x}{3}) - 3 \cdot 1)$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (3 - 3 \frac{- 2 x}{3} - 3 \cdot 1)$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (3 + 3 (- 1) (\frac{- 2 x}{3}) - 3 \cdot 1)$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (3 + 3 \cdot (- 1 \frac{- 2 x}{3}) - 3 \cdot 1)$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (3 - 1 (- 2 x) - 3 \cdot 1)$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (3 + 2 x - 3 \cdot 1)$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (3 + 2 x - 3)$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + 2 x - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{3} + 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{3} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (3 - 3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{3} + 1$