Algebra Beispiele

$3 \sqrt{3 x} + 3 x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sqrt{3 x} = - 3 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(3 \sqrt{3 x})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(3 {(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

${(3 (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1

Bewege $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $3^{\frac{1}{2}}$ mit $3$ .

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

${(3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(3^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(3^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

${(3^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Produktregel auf $3^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(3^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.7

Vereinfache.

$27 x = {(- 3 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- 3 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 3 x$ an.

$27 x = {(- 3)}^{2} x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$27 x = 9 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$27 x - 9 x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$27 u - 9 u^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $9 u$ aus $27 u - 9 u^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $9 u$ aus $27 u$ heraus.

$9 u (3) - 9 u^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $9 u$ aus $- 9 u^{2}$ heraus.

$9 u (3) + 9 u (- u) = 0$

Schritt 4.2.2.3

Faktorisiere $9 u$ aus $9 u (3) + 9 u (- u)$ heraus.

$9 u (3 - u) = 0$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$9 x (3 - x) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $9 x (3 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $3 \sqrt{3 x} + 3 x = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$