Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 3.2.4

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 5.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$(x + 1) (x + 1)$

Schritt 6

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} + x + x + 1$

Schritt 7.2

Addiere $x$ und $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1$