Algebra Beispiele

$\frac{1}{x} + 6 = \frac{5}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\frac{5}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x} + 6$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\sqrt{x}$ .

$\frac{5}{\sqrt{x}} \sqrt{x} = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{x}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{\sqrt{x}} \sqrt{x} = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 = \frac{1}{x} \sqrt{x} + 6 \sqrt{x}$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{x}$ .

$5 = \frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ um.

$\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$

Schritt 4.2

Löse nach $\sqrt{x}$ auf.

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Schritt 4.2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1, 1$

Schritt 4.2.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 4.2.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ mit $x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{x} x + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x}}{x} x + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Schritt 4.2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x$ heraus.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Schritt 4.2.3.1.2

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus ${\sqrt{x}}^{1}$ heraus.

$\sqrt{x} \cdot 1 + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Schritt 4.2.3.1.3

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $6 \sqrt{x} x$ heraus.

$\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (6 x) = 5 x$

Schritt 4.2.3.1.4

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (6 x)$ heraus.

$\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$

Schritt 4.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$ durch $1 + 6 x$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$ durch $1 + 6 x$ .

$\frac{\sqrt{x} (1 + 6 x)}{1 + 6 x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Schritt 4.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 6 x$ .

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Schritt 4.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x} (1 + 6 x)}{1 + 6 x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Schritt 4.2.3.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{x}$ durch $1$ .

$\sqrt{x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Schritt 4.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.4.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 x}{1 + 6 x}$ an.

$x = \frac{{(5 x)}^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Schritt 4.4.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$x = \frac{5^{2} x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Schritt 4.4.3.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Schritt 4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, {(1 + 6 x)}^{2}$

Schritt 4.5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(1 + 6 x)}^{2}$

Schritt 4.5.2

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$ mit ${(1 + 6 x)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.5.2.1

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$ mit ${(1 + 6 x)}^{2}$ .

$x {(1 + 6 x)}^{2} = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}} {(1 + 6 x)}^{2}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + 6 x)}^{2}$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x {(1 + 6 x)}^{2} = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}} {(1 + 6 x)}^{2}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x {(1 + 6 x)}^{2} = 25 x^{2}$

Schritt 4.5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.5.3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.3.1.1

Subtrahiere $25 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x {(1 + 6 x)}^{2} - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.3.1.2.1

Schreibe ${(1 + 6 x)}^{2}$ als $(1 + 6 x) (1 + 6 x)$ um.

$x ((1 + 6 x) (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.2

Multipliziere $(1 + 6 x) (1 + 6 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (1 (1 + 6 x) + 6 x (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (1 \cdot 1 + 1 (6 x) + 6 x (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (1 \cdot 1 + 1 (6 x) + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x (1 + 1 (6 x) + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $6 x$ mit $1$ .

$x (1 + 6 x + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 x \cdot x) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.3.1.2.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 (x \cdot x)) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.3.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$x (1 + 12 x + 36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 1 + x (12 x) + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1.2.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + x (12 x) + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x + 12 x \cdot x + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x + 12 x \cdot x + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.3.1.2.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.3.1.2.6.1.1

Bewege $x$ .

$x + 12 (x \cdot x) + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 12 x^{2} + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.6.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.3.1.2.6.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$x + 12 x^{2} + 36 (x^{2} x) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.6.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.5.3.1.2.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x + 12 x^{2} + 36 (x^{2} x^{1}) - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 12 x^{2} + 36 x^{2 + 1} - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.6.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x + 12 x^{2} + 36 x^{3} - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.1.3

Subtrahiere $25 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$x + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x + 36 x^{3} - 13 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.5.3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $36 x^{3}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (36 x^{2}) - 13 x^{2} = 0$

Schritt 4.5.3.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $- 13 x^{2}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (36 x^{2}) + x (- 13 x) = 0$

Schritt 4.5.3.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (36 x^{2})$ heraus.

$x \cdot (1 + 36 x^{2}) + x (- 13 x) = 0$

Schritt 4.5.3.2.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot (1 + 36 x^{2}) + x (- 13 x)$ heraus.

$x (1 + 36 x^{2} - 13 x) = 0$

Schritt 4.5.3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.5.3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.3.2.2.1.1

Stelle die Terme um.

$x (36 x^{2} - 13 x + 1) = 0$

Schritt 4.5.3.2.2.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 36 \cdot 1 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 4.5.3.2.2.1.2.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$x (36 x^{2} - 13 x + 1) = 0$

Schritt 4.5.3.2.2.1.2.2

Schreibe $- 13$ um als $- 4$ plus $- 9$

$x (36 x^{2} + (- 4 - 9) x + 1) = 0$

Schritt 4.5.3.2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (36 x^{2} - 4 x - 9 x + 1) = 0$

Schritt 4.5.3.2.2.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.3.2.2.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((36 x^{2} - 4 x) - 9 x + 1) = 0$

Schritt 4.5.3.2.2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (4 x (9 x - 1) - (9 x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.3.2.2.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x - 1$ .

$x ((9 x - 1) (4 x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (9 x - 1) (4 x - 1) = 0$

Schritt 4.5.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$9 x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

Schritt 4.5.3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5.3.5

Setze $9 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.3.5.1

Setze $9 x - 1$ gleich $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Schritt 4.5.3.5.2

Löse $9 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 1$

Schritt 4.5.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 4.5.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.5.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 4.5.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Schritt 4.5.3.6

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.3.6.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 4.5.3.6.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.3.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 4.5.3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.5.3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.5.3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.5.3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 4.5.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (9 x - 1) (4 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{1}{x} + 6 = \frac{5}{\sqrt{x}}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{1}, 0.25$